Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng được xem là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 độ. Hiểu đơn giản, điều này có nghĩa là khi hai mặt phẳng cắt nhau, các đường thẳng tạo ra tại điểm giao nhau sẽ chia không gian thành các góc right angle (góc vuông). Định nghĩa này không chỉ có ý nghĩa trong hình học - nơi mà người ta thường chạm trán với các khái niệm như vuông góc và cạnh mà còn có ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như kiến trúc, cơ học, và đồ họa máy tính.
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi ít nhất một trong các mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà vuông góc với mặt phẳng còn lại. Điều này có thể được hiểu qua tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng. Nếu giao tuyến đó vuông góc với một trong hai mặt phẳng, thì hai mặt phẳng đó phải vuông góc với nhau.
Các tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
- Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
- Nếu hai mặt phẳng (A) và (B) vuông góc với nhau, đường thẳng (a) đi qua điểm H (H nằm trên mặt phẳng A) và vuông góc với (B) sẽ nằm trong mặt phẳng (A).
Hai mặt phẳng vuông góc trong tọa độ không gian Oxyz
Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² > 0.
Để viết được phương trình của mặt phẳng trong không gian, cần xác định hai dữ kiện:
- Điểm M nằm trên mặt phẳng.
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc trong không gian tọa độ Oxyz
Các mặt phẳng có phương trình (P):
Ax + By + Cz + D = 0 và (Q):
A'x + B'y + C'z + D' = 0 sẽ vuông góc với nhau nếu thỏa mãn điều kiện sau:
AA' + BB' + CC' = 0.
Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vector pháp tuyến của hai mặt phẳng phải bằng 0.
Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Việc chứng minh hai mặt phẳng vuông góc là một trong những bài toán thường gặp trong hình học không gian. Dưới đây là những phương pháp phổ biến để thực hiện điều này.
Phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau
Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại
Để thực hiện phương pháp này, bạn cần tìm một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng là 90 độ
Đây cũng là một phương pháp thường gặp, trong đó bạn trực tiếp tính góc giữa hai mặt phẳng.
Phương pháp chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α)
Cách 1: Sử dụng mặt phẳng thứ ba làm công cụ
Nếu hai mặt phẳng đã cho vuông góc với một mặt phẳng thứ ba, thì giao tuyến (nếu có) của chúng sẽ vuông góc với mặt phẳng này.
Cách 2: Đường thẳng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng
Nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng, thì nó sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Kết quả
- Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, mọi đường thẳng qua một điểm A (thuộc mặt phẳng (P)) và vuông góc với (Q) đều nằm trong mặt phẳng (P).
Bài tập hai mặt phẳng vuông góc cơ bản
Bài tập tự luận
Bài tập 1:
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông ABC, với góc B bằng 90 độ. Gọi H, K là các hình chiếu vuông góc của A trên hai đoạn thẳng SB, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC), và rằng mặt phẳng (AHK) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn phương pháp giải:
- Mặt phẳng (SAB) và (SBC): Từ việc xác định tam giác ABC vuông tại B, ta thấy rằng AB ⊥ BC và SA ⊥ (ABC). Suy ra BC ⊥ (SAB), từ đó có thể kết luận rằng (SAB) ⊥ (SBC).
- Mặt phẳng (AHK) và (SBC): Với việc H là hình chiếu vuông góc của A, bạn có thể sử dụng các tính chất vuông góc để chứng minh rằng (AHK) ⊥ (SBC).
Bài tập 2:
Cho hai mặt phẳng Δ và (β) vuông góc và cắt nhau tại giao tuyến d. Chứng minh rằng nếu có một đường thẳng Δ nằm trong Δ và Δ vuông góc với giao tuyến d, thì Δ cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (β).
Hướng dẫn phương pháp giải:
- Từ điểm A (giao tuyến), ta kẻ một đường thẳng a trong mặt phẳng (β), với điều kiện a vuông góc với d. Do (Δ) vuông góc với (β), ta có thể kết luận rằng nếu Δ vuông góc với d thì nó cũng vuông góc với mặt phẳng (β).
Bài tập trắc nghiệm
Cùng tham gia các bài trắc nghiệm để củng cố lại kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, từ đó nắm vững hơn các kiến thức lý thuyết cũng như thực hành trong việc giải quyết các bài toán hình học khó khăn hơn.
Tổng hợp những phương pháp và kiến thức trên sẽ giúp các bạn không chỉ trong việc học tập mà còn cả trong việc vận dụng chúng vào thực tiễn. Hãy chắc chắn rằng bạn thực hành thường xuyên để ghi nhớ và áp dụng chúng một cách hiệu quả nhất!
