Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc đơn giản

Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được coi là vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Trong không gian ba chiều, nếu chúng ta có hai mặt phẳng (P) và (Q), thì chúng sẽ gọi là vuông góc khi có ít nhất một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng này và vuông góc với đường thẳng giao tuyến của chúng.

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định nghĩa của điều kiện

Hai mặt phẳng sẽ vuông góc với nhau nếu có ít nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại. Điều này có nghĩa là sự tồn tại của một đường thẳng nằm trong phương trình của một trong hai mặt phẳng và vuông góc với phương trình của mặt phẳng kia.

Các tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

• Nếu hai mặt phẳng A và B vuông góc với nhau, thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng A và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng B.
• Nếu mặt phẳng thứ nhất (A) chứa một đường thẳng H vuông góc với mặt phẳng thứ hai (B), thì H sẽ nằm trong mặt phẳng (A).
• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cả hai đều vuông góc với một mặt phẳng thứ ba, thì giao tuyến của chúng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng đó.

Hai mặt phẳng vuông góc trong tọa độ không gian Oxyz

Phương trình mặt phẳng trong tọa độ Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian tọa độ Oxyz có dạng: \[Ax + By + Cz + D = 0\] Trong đó điều kiện cần thiết là \(A^2 + B^2 + C^2 > 0\). Để viết được phương trình mặt phẳng, chúng ta cần xác định hai dữ liệu cơ bản:

• Điểm M nằm trên mặt phẳng
• Vector pháp tuyến của mặt phẳng

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc trong không gian tọa độ Oxyz

Cho hai mặt phẳng có phương trình:

• (P): Ax + By + Cz + D = 0
• (Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là: \[AA' + BB' + CC' = 0\] Điều này có nghĩa là tích vô hướng của các vector pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0 thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Chúng ta có thể sử dụng các phương pháp khác nhau để chứng minh rằng hai mặt phẳng là vuông góc.

Phương pháp 1: Chứng minh có một đường thẳng vuông góc

Đầu tiên, chúng ta có thể chứng minh rằng mặt phẳng này chứa một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng còn lại. Nếu chúng ta xác định được một đường thẳng trong mặt phẳng A mà vuông góc với mặt phẳng B, thì chúng ta đã chứng minh được hai mặt phẳng vuông góc.

Phương pháp 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng

Chúng ta cũng có thể chứng minh rằng góc giữa hai mặt phẳng là 90 độ. Nếu góc giữa chúng được tính là 90 độ, thì rõ ràng hai mặt phẳng là vuông góc.

Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α

Nếu cả hai mặt phẳng A và B đều vuông góc với một mặt phẳng thứ ba (C), thì giao tuyến của chúng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng này. Để kiểm tra điều này, chúng ta có thể:

• Gọi một điểm bất kỳ trên mặt phẳng A và xác định một đường thẳng nằm trong mặt phẳng A vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
• Chứng minh rằng đường thẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng B.

Kết quả

• Nếu S' = S cos φ và hai mặt phẳng (Q) và (P) vuông góc, một điểm A nằm trong mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng qua điểm A mà vuông góc với mặt phẳng (Q) sẽ nằm trong mặt phẳng (P).

Bài tập hai mặt phẳng vuông góc cơ bản

Bài tập tự luận

Bài tập 1: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông ABC, góc B bằng 90 độ. Gọi hai điểm H và K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A trên hai đoạn thẳng SB và SC. Hãy chứng minh: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC), mặt phẳng (AHK) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Hướng dẫn phương pháp giải:

• Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Theo đó:

- Tam giác ABC vuông tại B, suy ra: AB ⊥ BC. - SA ⊥ (ABC) dẫn đến SA ⊥ BC. - Kết luận: BC ⊥ (SAB), BC ⊂ (SBC) dẫn đến (SAB) ⊥ (SBC).

• Chứng minh mặt phẳng (AHK) vuông góc với mặt phẳng (SBC):

- BC ⊥ (SAB) mà AH thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ BC ⊥ AH. - H là hình chiếu vuông góc của A ⇒ SB ⊥ AH. - Kết luận: AH ⊥ (SBC), mà AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SBC). Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng Δ và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau thông qua giao tuyến d. Hãy chứng minh nếu có một đường thẳng Δ nằm trong Δ và Δ vuông góc với giao tuyến d thì Δ vuông góc với mặt phẳng (β). Hướng dẫn phương pháp giải:

• Với Đường thẳng a:

- Giả sử Δ ⊂ (α) và Δ ⊥ d, tức Δ ∩ d = {A}. - Kẻ đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (β) và vuông góc với giao tuyến d. - Do (α) ⊥ (β) dẫn đến góc giữa (α) và a sẽ là 90°, do đó Δ vuông góc với đường thẳng d.

Bài tập trắc nghiệm

Để có thể nắm được kiến thức và phương pháp giải quyết vấn đề liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc, học sinh có thể thực hành làm bài trắc nghiệm về các điều kiện và tính chất của các mặt phẳng này. Điều này không chỉ tạo cơ hội cho học sinh củng cố kiến thức mà còn giúp phát triển kỹ năng tư duy hình học. --- Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, cũng như giúp bạn có cái nhìn tổng quan và có hệ thống về vấn đề này trong toán học. Hãy khám phá thêm những bài tập và bài lý thuyết liên quan để nắm vững kiến thức hơn nhé!